Cálculo de tendencias en series de tiempo

por medio de álgebra matricial

Tendencias deterministicas y estocásticas (filtro Hodrick - Prescot)

Resumen

El trabajo intenta ser una síntesis de los papers que circulan sobre el
filtro Hodrick Prescott y, a la luz de la bibliografía básica de econometría, mostrar el cálculo computacional matricial de las tendencias determinísticas por M.C.O y estocásticas (H.P.). La idea es facilitar la tarea de quienes usan programas de cálculo finito (como MathCad, Matlab, Matemática, y otros), o para quienes estamos en la desafiante tarea de la programación (ya sea en lenguajes Visual Basic, C++, Java, Pascal, y otros), de encontrar (o construir) los algoritmos que permitan
el cálculo y representación gráfica de los filtros de tendencia.
En general el interrogante al ver actuar un programa de econometría o estadística es ¿cómo es el cálculo de la línea (filtro o tendencia) que grafica en base a los datos de la serie de tiempo o los datos que presenta. Es nuestra intención el mostrar ese cómo. El para qué se lo dará cada uno en función de sus necesidades (modificaciones) o ambiciones (crear nuevos programas). Agradecemos al profesor Aldo Medawar por crearnos la inquietud del cómo.

1. Introducción.

Las series de tiempo pueden ser descompuestas en los componentes que la forman¹ , a saber: una componente tendencial que describe la tendencia determinística o estocástica, una componente cíclica, una componente estacional y finalmente un residuo aleatorio (estacionario) suceptible de ser modelado por algún proceso ARMA. Matemáticamente
es posible observar esta definición por la ecuación 1.

Ec. 1:

El método de mínimos cuadrados ordinarios se basa en minimizar la suma de los desvíos de la variable (en valores absolutos) respecto de su estimación de algunos de los componentes.

Matemáticamente el error cuadrático medio se define como la sumatoria de la diferencia entre las variables reales y estimadas al cuadrado, para evitar que en la función objetivo aparezcan diferencias negativas que inviertan el objetivo de la función.

Nos concentraremos en estimar la tendencia solamente, y como sabemos, existirán infinitas tendencias pero, como siempre en economía, nos interesará la óptima. Para calcular el vector de tendencia óptimo es que resolveremos un problema de minimización libre de una función objetivo, que es el error cuadrático medio.

Para simplificar los cálculos es que definiremos 1 en forma matricial (dejando de lado los ciclos y la estacionalidad que la juntaremos con el residuo aleatorio en la variable R)

Ec 2:

Dicha ecuación matricial (2) esta formada por el vector columna Y de tamaño n (tamaño de la muestra), cuyos elementos son los Y_t, la matriz T, formada por los elementos que describen la tendencia (), y que tomará una determinada forma según el caso, y R una matriz que aloja el residuo donde estarán los componentes no tratados aquí, pero que intentamos minimizar.

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1 Es importante destacar que en el contexto de éste trabajo (serie de tiempo) vamos a suponer que las series de tiempo son función del tiempo (en cuanto a los componentes tendenciales por lo menos) pero no es nuestra intención, acá por lo menos, el hacer un estudio econométrico que determine, fundamentado en teoría, el modelo que está detrás de la serie de tiempo estudiada. Se debe recordar que en el caso de estimar el modelo econométrico que mejor ajuste la serie, no será necesario (por lo general) agregar una tendencia determinística o estocástica, ya que las variables explicativas que forman el modelo están cointegradas con la variable explicada y entre ellas, esto desplaza la utilización de cualquier variable tendencial dentro de las explicativas. Por lo menos es lo que sucede en la mayoría de los casos en economía, donde el grado de cointegración de las variables es de orden 1. En econometría lo interesante es explicar los desvíos de las tendencias por variables predefinidas por la teoría que excede totalmente este trabajo.

 

La función objetivo a minimizar en forma general, y sin restricciones es la que describe la ecuación 3:

Ec. 3:

Una vez definida la función objetivo, solo resta establecer las condiciones de primer orden para encontrar la tendencia óptima. Las condiciones de primer orden son las derivadas primeras de la función objetivo respecto de los elementos que forman la tendencia y que tomarán distinta forma según la definición de la tendencia teórica.

2. Tendencias determinísticas.

Supongamos que pensamos que la tendencia de la serie de tiempo estudiada es una deterministica, representada por un polinomio de orden n. En este caso se incluyen las tendencias lineales, cuadráticas, cúbicas hasta el orden n.
La representación matricial es la misma que antes, solo que ahora se especifica T.

Ec. 4:

La matriz es un vector columna de orden n cuyos elementos son los parámetros de la función polinómica a estimar. La matriz Z es la que determina el grado del polinomio (n-1), por lo que es de orden nxn, los elementos son, para la primer columna todos 1 (esto permite alojar el término independiente del polinomio), luego de la columna 2 a la n los elementos son:

Ec. 5:

La suma de residuos al cuadrado puede expresarse matricialmente como:

Ec. 6:

las condiciones de primer orden para minimizar la Ec. 6., se resume en la Ec. 7. La optimización implica elegir los parámetros que minimicen las desviaciones.

Ec. 7:

Operando matricilamente es posible obtener el vector columna de las estimaciones de los parámetros que definen el polinomio. (Ec. 8)

Ec. 8:

Con las estimaciones de los parámetros, ya podemos armar el polinomio que representará la tendencia de la serie, la que podemos escribir como:

Ec. 9:

3. Tendencias no determinísticas, Filtro Hodrick and Prescott.

Hodrick y Prescott en 1980, propusieron un filtro que descompone las series de tiempo macroeconómicas en un componente tendencial no estacionario y un residuo cíclico estacionario. De esta manera es posible utilizar el filtro para estimar la tendencia estocástica de una serie, si existen evidencias de que no la describe correctamente una tendencia determinística.
La metodología es similar a la anterior, se trata de un proceso de minimización del error cuadrático medio, pero la innovación es que la tendencia no se define como función del tiempo, sino que es teórica, y el proceso está sujeto a una restricción.
El proceso se resume en la Ec. 10 (función a optimizar) y Ec. 11 (restricción). Donde mostramos la función a minimizar y la restricción de que el cambio (en valores absolutos) del valor de la tendencia en un momento dado sea igual, o aproximado, al mismo cambio en un momento adelante. Esto permite evitar quiebres bruscos en la tendencia, y proporcionar una tendencia suavizada. (smoothing trend).

Ec. 10.

 

Ec. 11.

Matemáticamente el problema puede ser resuelto por la función lagrangeana que es la Ec. 12.

En esta minimización restringida, el parámetro interpreta el peso relativo de la restricción en la minimización. Si , la minimización es irrestricta, con lo que se logra la mejor minimización haciendo que la tendencia teórica sea igual al valor de la serie de tiempo.
Esto significa que la diferencia absoluta entre los valores de la tendencia pueden ser totalmente diferentes (tendencia con grandes quiebres).
Si por el contrario , el peso de la restricción es total, a tal punto que lo único importante es que las diferencias sean exactamente iguales (no existe ningún quiebre). Esto se da solo en el caso que la tendencia sea lineal, donde coincide con la estimación de MCO de una recta (tendencia determinística polinómica de grado uno), y =pendiente de la recta, para todo t.
Las condiciones de primer orden de este lagrangeano, nos arrojan n ecuaciones con n incógnitas. Algo difícil de manejar cuando n es grande. Es posible aproximar las soluciones de por una ecuación en diferencias de cuarto grado en con coeficientes constantes pero con término independiente variable (Ec. 13.)

Ec. 13.

La solución de ésta ecuación no es simple, pero puede escribirse en forma matricial, teniendo en cuenta que debe modificarse para las dos primeras observaciones y para las dos últimas observaciones.

El lagrangeano en forma matricial es:

Ec. 14.

Es posible definir F como:

Derivando la condición de primer orden y operando matricialmente se obtiene el filtro de Hodrick Prescott en forma matricial:

Ec. 15

Continuación..

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Bibliografía consultada:

1- CHIANG, Alpha C., "Métodos fundamentales de economía matemática" (Chile, Mc-

Graw Hill, 1999).

2- GUJARATI, Damodar N., "Econometría" (Colombia, Mc-Graw Hill, 1998).

3- CEBALLOS, F. J., "Visual Basic. Curso de programación" (México, Alfaomega, 1999)

4- PEDERSON, Torben Mark, The Hodrick - Prescott filter, the slutzky - effect, and the distortuinary effect of filters, Discussion paper nº 9 (Institute of Economics, University of Copenhagen, 1998).

5- REEVES, J. J., Otros, The Hodrick - Prescott filter, a generalisation, and a new procedure of extracting an empirical Cycle from series, working paper Nº 160, Agosto 1996, University of Auckland, New Zealand.

6- KYDLAND, Finn E., PRESCOTT, Edward, A fortran subrutine for efficiently computing HP-filtered time series, Federal Reserve Bank of Minneapolis, Abril 1989.

7- PEDREGAL, Diego J., Some Comments on the use and abuse of the Hodrick - Prescott

filter, Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industruales, Universidad de Castilla - La Mancha. España.

8- Help de Eviews 4.0 y Math Cad 5.0