CAPÍTULO III
DESCRIPCIÓN DE LOS INSTRUMENTOS
ESTADÍSTICOS UTILIZADOS
El propósito de este capítulo es efectuar una breve explicación de los
instrumentos estadísticos que utilizaremos, tanto el modelo de la rentabilidad como el
modelo de volatilidad, en el siguiente capítulo con el objeto de la obtención del tipo
de los Modelos de volatilidad condicional variable, los llamados modelos ARCH, GARCH,
IGARCH, EGARCH, ARCH-M, TARCH, que mejor ajustan los datos para el comportamiento de cada
uno de los índices seleccionados para el estudio, durante la última década.
III.1) Modelo de
rentabilidad
Podemos definir el riesgo de mercado como la pérdida que
puede producirse por un movimiento adverso de los precios de mercado y que afecta a los
activos líquidos que se negocian tales como las acciones, los bonos, las divisas, las
mercancías y los derivados.
Consideramos el precio de cualquier activo como la
expresión de la corriente futura de liquidez descontada, que depende de variables como
los beneficios futuros, los tipos de interés, los tipos de cambio, de la incertidumbre
económica futura y de la frecuencia con la que aparecen algunos shocks o sorpresas que
modifican la situación actual o futura.
Estas novedades son los causantes del riesgo de mercado,
los cambios no anticipados por los agentes de los factores “fundamentales” que
determinan el precio actual.
En el caso de una acción, su precio de mercado
representaría el consenso sobre la estimación de los dividendos futuros que la empresa
va a generar, actualizados por una tasa de descuento que represente su costo de
oportunidad.
Para medir el riesgo de mercado de esta acción podríamos
intentar investigar el comportamiento de todas esas variables que influyen en la
determinación de su precio (algo muy dificultoso), o podríamos intentar una
aproximación fenomenológica que consiste en considerar a los precios de mercado como la
materia prima para la medición del riesgo de mercado, mediante el análisis estadístico
de las series temporales de los precios de las acciones, bonos, o índices de mercado.
Esta última, es la opción que elegimos.
A partir de los precios diarios (cierre de los índices)
calculamos la rentabilidad diaria y modelizamos como una variable aleatoria a la
volatilidad de las rentabilidades.
El problema que se plantea ahora es identificar el modelo
estadístico que mejor representa el comportamiento de los precios.
Si definimos la
Rentabilidad Precio como el cociente de la diferencia de precios entre el período t y el
período t-1, y el precio en el período t-1 tendremos:
Y = (Pt – Pt-1 ) / Pt-1
Usaremos la rentabilidad logarítmica, que para valores
pequeños de la Rentabilidad Precio resulta ser una buena aproximación de la rentabilidad
real, y permite la suma de las rentabilidades.
Yt = Ln ( Pt – Pt-1 )
Supondremos que el logaritmo del precio verifica la
ecuación:
Ln Pt = r0 + Ln Pt-1 + at
Donde r0 es una constante y at es una variable aleatoria normal con media
cero y variancia σ2 y que se
distribuye idéntica e independientemente a lo largo del tiempo.
Entonces podemos escribir la Rentabilidad logarítmica
como:
Yt = r0 + at
Si
aplicamos la hipótesis de que las variables aleatorias son independientes, podemos
suponer que la rentabilidad de hoy no influye en la rentabilidad de mañana.
Otra
forma de modelar la rentabilidad es:
Yt = r0 + r1 Yt-1 +
at
Donde,
en este caso, la rentabilidad de hoy, sí depende de la rentabilidad de ayer, siendo ésta
forma una de las más utilizadas.
Una
modificación a este modelo consiste en expresar la variable aleatoria at mediante el
producto de la desviación típica y una variable aleatoria normal estándar (media nula y
variancia unidad):
at = σt vt
De
esta forma el modelo de la rentabilidad logarítmica queda de la siguiente forma:
Yt = r0 + r1 Yt-1 +
σt vt
Dando paso los modelos de variancia no constante o
heteroscedástica.
III.2) Modelos de
Volatilidad
III.2.a) Justificación
del uso de los procesos ARCH
Utilizaremos
los modelos de volatilidad condicional variable, los llamados modelos ARCH, GARCH, IGARCH,
EGARCH, ARCH-M, TARCH.
Estos
modelos nos permiten estudiar aquellas situaciones donde la varianza condicional es
cambiante. Estos son muy aplicados en análisis de índole financiero, donde el
inversionista esta interesado en estimar la tasa de retorno y su volatilidad durante el
periodo de tenencia, y el emisor del título esta interesado en analizar el rendimiento y
volatilidad esperados durante la vida del instrumento financiero.
El
principal objetivo del inversionista es pronosticar el rendimiento y riesgo del
instrumento durante un periodo de corto plazo, analiza el riesgo que acepta a cambio de un
rendimiento a recibir. Por su parte el emisor del titulo desea saber la posición que
tiene este instrumento a lo largo de toda la vida del papel, a los efectos de conocer la
posición relativa del instrumento que coloca en el mercado.
Existen
dos puntos de vista contrapuestos:
La
primera que piensa que estos movimientos erráticos son solo debidos al azar por lo que
son modificaciones que se pueden dejar de lado, y la segunda que sostiene que estos
movimientos se pueden predecir, ya que producen períodos durante las cuales las
desviaciones son significativas, siendo factible obtener resultados a partir de un
cuidadoso análisis de riesgo.
Por
este motivo el inversionista tiene como objetivo analizar media y varianza condicional y
al emisor le interesa, además, la media y varianza no condicional.
Los
modelos en estudio se basan en la idea de que se modela en la media condicional y la
varianza condicional simultáneamente. O sea, el investigador plantea un modelo de
regresión (media condicional) y también un mecanismo que controla la evolución de los
errores (varianza condicional), buscando incorporar las grandes fluctuaciones que tiene la
volatilidad que se mide por la desviación estándar condicional.
Recordemos
que la diferencia entre condicional y no condicional es que la expectativa condicional se
refiere a una expectativa hacia el futuro sujeta a la información acumulada hasta el
tiempo t. La no condicional no modifica el conjunto de información.
Supongamos
que el modelo a estimar es un autorregresivo de primer orden, AR(1)
yt =
r0 + r1 yt-1 + at
Donde el termino at es un
proceso N(0,σ2)
1) La media
no condicional (la posición de largo plazo) es:
E[yt ] = r0 / ( 1- r1
)
2) La media condicional al
tiempo t (la posición de corto plazo) es:
E[yt+1|O t]= r0
+ r1 yt
Donde
yt forma parte del conjunto de información.
3) La varianza
no condicional es constante y esta dada por:
Var[ yt ]= σ2 / (1
- r21 )
4)
La varianza condicional es:
Var[ yt - E[yt-1 | O t-1]
] = σ2
Es importante tener en cuenta que la media
y varianza condicionales ofrecen información relevante que no se debe desechar. La
varianza condicional es más pequeña por lo que el riesgo inversor es menor:
σ
2 / (1 - r21 ) > σ2
Podremos estimar la media y variancia
condicional si planteamos un modelo similar a un ARMA para que modele la evolución de la
volatilidad σ2(t). Estos
modelos son los ARCH (modelos auto regresivos de heterocedasticidad
condicional) que fueron ideados por Robert Engle en 1982 y tienen la característica de
que el término del error esta dado por:
at
= σ (t).vt
σ2(t)
= a0 + a 1 a2(t-1)
donde vt
˜ IID N(0,1) =
NRND, y además at
y vt son independientes,
a0
> 0 y 0 < a1< 1 con estas
condiciones y usando E[xw]=E[x] E[w] si x, w son independientes se concluye que:
a) E[
at ] =0
b) E[
at aσ ] =0
c) La
varianza no condicional de { at }es constante: E[a2t
] =a 0 / ( 1 - a 1)
d) La
media condicional es cero E[ at | O t-1] = 0
e) La
varianza condicional esta dada por: E[a2t|O t-1]
= a 0 + a 1 a2(t-1)
El punto e) nos indica que los errores
están bajo un proceso AR(1) condicional, de allí su nombre ARCH. Tomar en cuenta que la
condición a0 > 0 corresponde a la mínima varianza condicional a ser
observada, en tanto que la condición 0 < a1<
1 es necesaria para que sea un proceso estable, la expresión a1< 0 no es
posible dado que la varianza nunca es negativa y si se hace la prueba de hipótesis a1
= 0 de aceptarse significa que no hay efecto ARCH y el proceso es de varianza
condicional constante.
Lo importante es que la serie {at
} es no correlacionada sin embargo los errores no son independientes ya que
están relacionados por sus segundos momentos por una ecuación en diferencias.
A medida que el valor de a1 se
acerque mas a uno, tendremos el análogo a una caminata al azar en la varianza y a medida
que a1 se acerque a cero, el efecto ARCH tendrá poca persistencia.
Podemos extender esta clase de modelos y
llegaremos a expresiones de la forma:
Siendo
a 0 > 0 , a 1 = 0, a 2 = 0, ...., a q
= 0
La primero ecuación se llama un ARCH(2) y
la segundo una ARCH(q), con estos se incorpora al análisis los fenómenos de volatilidad
variable, como son los episodios de alto nerviosismo o incertidumbre en el mercado. Estos
tienen media cero y una varianza no condicional dada por:
III.2.b) Alternativas
de modelización ARCH
III.2.b.1) Modelos
GARCH
En el caso de los modelos GARCH (modelos generalizados de heterocedasticidad
condicional), que fueron ideados por Bollerslev en 1986, se incluye en la formula para la
generación de los errores a la varianza retrasada:
at = σ(t).vt
Esta ecuaciones permiten reproducir
periodos de alta volatilidad con periodos tranquilos, sin embargo son modelos que
requieren menos parámetros por lo que dan parsimonia y los hace preferidos. No se debe
olvidar que el proceso at tiene media cero y varianza condicional.
Un
modelo GARCH(1,1) esta definido como:
donde
vt es un proceso de ruido blanco, con varianza uno, además at y vt
son independientes,
a 0
> 0, 0< a 1 < 1,
0< ß1< 1
, . a 1 + ß 1
< 1
Entonces
la expresión que le corresponde a un GARCH(p,q) es:
Aquí
las restricciones para los parámetros son ahora:
La
varianza no condicional esta dada por:
Los
pronósticos de la varianza para adelantar s-períodos se calculan por la formula,
m=max(p,q) n=min(m,s-1):
III.2.b.2) Modelos
IGARCH
Se
puede eliminar la condición de estacionariedad imponiendo
de
esta forma se tiene un modelo IGARCH(1,1)
El
modelo IGARCH(1,1) es una serie que posee una raíz unitaria en la varianza condicional.
III.2.b.3) Modelos
ARCH-M
La familia (G) ARCH-M, es una clase de modelos que ha sido
estudiada en profundidad ya que esta tiene la característica de que la varianza
condicional aparece como un regresor en el modelo. En 1987 Engle, Lilien y Robins idearon
esta clase de modelos para permitir que la media condicional dependa de la varianza
condicional. Estos modelos se usan en el mercado de capitales en los llamados modelos CAPM
donde el objetivo es comparar dos variables, el rendimiento del titulo y el rendimiento
del mercado, ambos, respecto de la tasa libre de riesgo.
La relación entre estos dos
excesos de rendimiento (del titulo y del mercado) esta dada por una constante llamada beta
y es la que expresa el exceso de rendimiento de un titulo sobre el rendimiento que ofrece
el mercado.
El modelo ARCH-M incorpora directamente
el efecto ARCH en las variables explicativas, aunque algunas veces resulta no
significativo si el rendimiento de mercado compite como otro regresor en el modelo.
Supondremos que los agentes tienen
aversión al riesgo, o sea son renuentes a aceptar mayores riesgos si no hallan que el
rendimiento del activo compensa el riesgo asumido. El modelo esta construido de modo que
la desviación estándar (y así la varianza) es una medida del riesgo. El rendimiento
esperado es una función creciente del nivel que presenta la varianza condicional.
El
modelo (G) ARCH-M(p,q) simple esta dado por:
Estos modelos son ideales para evaluar el
rendimiento de las acciones ya que la volatilidad debida al nerviosismo, repercute en los
rendimientos del instrumento.
El
test ARCH-LM consiste en mirar si hay efecto ARCH, para lo cual se conservan
los residuos, denotados por ut y se corre la regresión auxiliar:
Si efectuamos la prueba-F de
significación conjunta de la regresión, la hipótesis nula será igual que siempre H0: a
1 = a 2 = a 3= ...= a p =0, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico F sale
grande.
Si hay
un modelo ARCH-M, éste se manifiesta en una importante correlación cruzada entre la
variable (el rendimiento) y la desviación estándar condicional.
La razón por la cual estos modelos han
resultado importantes se comprende cuando observamos que:
1.- Se
puede usar la varianza (
=2) o la
desviación estándar (=1) como un
regresor.
2.-
Los errores pueden ser un proceso MA.
3.-
Pueden ir otras variables como regresores.
4.-
Pueden los retrasos de la variable Y utilizarse como regresores.
III.2.b.4) Modelos
EGARCH
Los modelos EGARCH
nacen en 1993 cuando Engle y
Ng definieron la curva de impactos asimétricos, en la cual hacen notar que en el mercado
de capitales no repercuten igual las buenas noticias que las malas noticias, los
movimientos a la baja en el mercado vienen con mayores volatilidades que los movimientos
al alza.
Cuando el rendimiento cae por abajo de lo
esperado nos lleva a un escenario donde las noticias son malas, esto viene asociado a la
observación de que la volatilidad se incrementa y por otra parte cuando las noticias son
buenas la volatilidad disminuye. Dentro de los modelos con varianza condicional variable
hay dos familias de modelos que se utilizan para modelar esta característica: EGARCH y
TARCH.
En
1990 Pagan y Schwert y en 1991 Nelson desarrollaron el modelo exponencial GARCH, denotado
como EGARCH, el cual esta definido como:
Este modelo tiene la propiedad de ser un
proceso que aparentemente, por su gráfica, se ve estacionario en covarianza, sin embargo,
arroja pocas observaciones pero extremadamente largas, o sea su varianza sorpresivamente
da saltos muy largos. El parámetro dicta
la asimetría del proceso, recuerde que log(σ2)= w si y solo si σ2=exp(w)
por lo que la varianza viene definida exponencialmente, de allí su nombre.
Un modelo GARCH tiene la limitación de
que trata los efectos de modo simétrico debido a que utiliza los cuadrados de las
innovaciones. Otra limitación son las desigualdades que tienen que cumplir los
parámetros, estas restricciones eliminan el comportamiento al azar-oscilatorio que pueda
presentar la varianza condicional. En cambio en un modelo EGARCH no hay restricciones en
los parámetros.
Al ser una combinación lineal entre x y
desviaciones sobre su valor absoluto, garantiza una respuesta asimétrica por parte de la
varianza condicional ante los movimientos de x. Se considera que en los episodios de crack
de los mercados, asociados con elevada volatilidad, sus estimaciones de a1 y a2 son
prácticamente la unidad indicando una enorme persistencia que tiene cada shock sobre la
varianza condicional.
III.2.b.5) Modelos TARCH
El segundo tipo de modelos que son capaces
de producir efectos asimétricos son los llamados modelos TARCH, (Threshold
Heteroskedastic Autoregresive Models) son modelos que dependen de un umbral (threshold)
por medio del cual definen su reacción.
Observar con atención que si la
innovación es negativa el umbral esta activo por lo que el efecto sobre la varianza
condicional es mayor, por una contribución. Mientras que si la innovación es positiva el
umbral esta apagado y no hay contribución a la varianza condicional. De esta forma se
mide el peso que tienen las malas noticias, por lo que si d es cero no hay efecto
asimétrico, este punto es vital para decidir si un modelo pertenece a esta familia puesto
que se hace la estimación y se procede a realizar la prueba de hipótesis d=0 utilizando
el estadístico t-student común y corriente. En resumen, el efecto que hay sobre la
varianza condicional es que las buenas noticias pesan a, mientras que las malas noticias
pesan (a + d).
III.2.b.6) Modelos del
Componente ARCH
Este modelo parte de la varianza condicional de un GARCH(1,1):
σ2t = w + a (e2 t-1 – w) + ß (σ2t-1 – w)
Donde w es una constante para todos los
valores de t. En cambio en el modelo del componente se permite que la media de la
ecuación de la varianza cambie en el tiempo y se denomina qt y el modelo se transforma en:
σ2t - qt = a (e2 t-1 – qt-1)
+ ß (σ2t-1 – qt-1)
qt = w + (qt-1
– w) + f (e2 t-1 - σ2t-1 )
Aquí la varianza condicional σ2t todavía es volátil, pero lo particular
es el reemplazo de w por qt y de esta forma se testea la presencia de
una volatilidad de largo plazo cambiante en el tiempo.
En la primer ecuación se describe el componente transitorio (σ2t -
qt) que converge a
cero con una velocidad dada por (a + ß). En la segunda ecuación se describe el
componente de largo plazo (qt) que converge a w a una velocidad dada
por . Este modelo equivale a un EGARCH(2,2)
con restricciones no lineales en los coeficientes .
