CAPITULO IV
continuación...
ANÁLISIS Y EVOLUCIÓN DE LA VOLATILIDAD
DEL ÍNDICE BURSÁTIL DE ARGENTINA
IV.3) Elección del modelo
Efectuando un primer
análisis de la variable cierre del índice
Merval mediante su correlograma muestral (Tabla IX.1) observamos claramente un decaimiento
lento en la función de autocorrelación simple y solamente el primer valor de la función
de autocorrelación parcial significativamente distinto de cero, indicando que el proceso autorregresivo de primer orden
AR(1) es el principal candidato entre los modelos alternativos. Al estimar el modelo
(Tabla IX.2) obtenemos un estadístico
“t” significativo, pero el módulo del coeficiente es superior a la unidad, lo
que indicaría que el proceso no es estacionario, sino explosivo. Esto nos lleva a
analizar una serie derivada de la misma, la cual sería la rentabilidad diaria, medida
como la diferencia de los logaritmos neperianos de dos cierres contiguos.
Iniciamos el análisis
de la serie rentabilidad, viendo primero su
histograma y sus estadísticas principales.
Gráfico
IV.3: Histograma y estadísticos principales de la rentabilidad diaria índice MERVAL en
porcentaje entre enero de 1995 y febrero del 2005. FUENTE: propia sobre la base de datos
obtenidos del sitio Stockssite.com (Internet, Marzo 2005).
Observamos que es
leptocúrtica, el estadístico Jarque-Bera nos indica que debemos rechazar la hipótesis
nula de normalidad, y el coeficiente de Kurtosis es muy elevado.
En lo referente a la estacionariedad
de la serie, de la visualización de la muestra observando el gráfico IV.2, podemos
afirmar a priori que la serie es estacionaria.
Para confirmarlo, se
realiza una prueba estadística para determinar la existencia de Raíces Unitarias
mediante el Test DICKEY-FULLER Aumentado, donde la hipótesis nula es que la serie es no
estacionaria.
En la tabla IX.3
resumimos los resultados del test para las tres especificaciones del mismo, aquí
reproducimos el cálculo sin la inclusión del intercepto ni de la tendencia.
Claramente se observa
que al 1%, 5% y 10% de confianza se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto hay evidencia
estadística de que la serie RENT es estacionaria. Además nos esta indicando la
existencia de autocorrelación de primer grado ya que el coeficiente del primer retardo de
la variable RENT es plenamente significativo.
Para confirmar la autocorrelación de primer grado, en modelos
autorregresivos no puede utilizarse el estadístico de Durbin-Watson, por lo que se
utiliza otra herramienta, el estadístico h de Durbin-Watson el cual nos da un valor de 2.14229534
indicándonos claramente la existencia de correlación serial en los residuos al
encontrarse fuera del rango de los cuantiles críticos de una distribución normal (-1.96
y 1.96).
Procedemos
a realizar la regresión de la ecuación de la
media de la variable rentabilidad mediante un proceso AR(1).
Para verificar que la
especificación con el modelo AR(1) es correcta, se debe estudiar el comportamiento de los residuos de la regresión graficando
la relación entre los residuos y su rezago en un período (Tabla IX.5) el cual nos
muestra que no existe relación alguna, lo que nos da un primer indicio de que el modelo
es el adecuado. Debemos recordar la importancia de los modelos Autorregresivos como
instrumentos de predicción y dado que la serie rentabilidad es estacionaria, podemos
utilizar las pruebas t y F para ver la significancia de los coeficientes individuales
obtenidos de las regresiones.
Generamos el
correlograma de los residuos al cuadrado de la regresión AR(1) de la serie RENT (tabla
IX.6) y observamos que nos estaría indicando que existe correlación en los residuos de
la serie, lo que implica la posible existencia de heterocedasticidad
en la variancia.
Una primera forma de
confirmar la existencia de heterocedasticidad en
la variancia es observando el gráfico de los residuos (Tabla IX.5) el cual exterioriza
claramente períodos de variancia estable en torno a la media cercana a 0.05% diario,
y períodos de alta volatilidad con valores máximos de rentabilidad diaria de 16.12% y
valores mínimos de -14.76%.
Para confirmar lo afirmado en el párrafo anterior, efectuamos el contraste de
White (Tabla IX.8). Según el estadístico F y el TR2 no podemos aceptar la
hipótesis nula de existencia de homocedasticidad ya que los coeficientes son altamente
significativos
y nos están dando un 100% de probabilidades de existencia de heterocedasticidad.
Asimismo realizamos el Test ARCH LM para los retardos uno, dos, tres y cuatro
(Tabla IX.9). En este último el cuarto retardo deja de ser significativo.
El test con 3 retardos
tiene los coeficientes significativos y los menores valores del Criterio de Información
de Akaike y del Criterio de Información de Schawarz, por lo tanto nos indica que el
modelo podría ser un ARCH(3).
IV.3.a) Aplicando modelos ARCH y GARCH
Estos modelos se
componen de dos ecuaciones, una para la media condicional y otra para la varianza
condicional, y se resuelven simultáneamente.
En la ecuación de la
media tomaremos un solo rezago de la variable endógena:
yt = c + 
yt-1 +e t
En el modelo ARCH(1)
(modelos autoregresivos de heterocedasticidad condicional que fueron desarrollados por
Robert Engle en 1982) se incorpora la ecuación de la varianza compuesta de una media o
constante (w) y las novedades de la volatilidad de períodos previos expresada en los
rezagos de los residuos al cuadrado de la ecuación de la media o término ARCH (e2 t-1):
σ2t = w + a e2 t-1
En el modelo
GARCH(1,1), ideados por Bollerslev en 1986, en la ecuación de la varianza se incorpora
además la predicción de la varianza para el último período o término GARCH (σ2t-1)
:
σ2t = w + a e2 t-1 + ß σ2t-1
Procedemos a efectuar
regresiones AR(1) para la ecuación de la media de la rentabilidad y aplicando para la
ecuación de la varianza modelos GARCH(1,1) hasta GARCH(3,3). El resumen de lo obtenido se
encuentra en la Tabla IX.10. De su análisis optamos inicialmente por el modelo GARCH(1,1)
(Tabla IX.11) ya que el resto de las alternativas fallan por tener coeficientes no
significativos o coeficientes con signos negativos.
Para ver si el modelo
GARCH es una correcta especificación, calculamos el
estadístico h de Durbin, pero en ninguno
de los 9 casos se lo pudo calcular (el número de observaciones multiplicado por la
varianza del coeficiente que acompaña la variable endógena rezagada es mayor que uno),
siendo la única evidencia de no existencia de autocorrelación en los residuos de la
regresión GARCH(1,1) el correlograma muestral de los residuos (Tabla IX.12) que nos
muestra un Ruido Blanco y el correlograma muestral de los residuos al cuadrado (Tabla
IX.13) que no indica ningún comportamiento sistemático en los residuos, por lo que no
habría evidencia de términos ARCH remanentes o adicionales.
En cuanto a la suma de
los coeficientes del término ARCH y GARCH del modelo GARCH(1,) suman 0.971881, un valor
cercano a la unidad, lo que indica que los shocks de volatilidad son bastantes
persistentes y que el proceso de varianza es convergente a su valor no condicional o de
largo plazo, o sea se cumple con la condición de estabilidad intrínseca.
Observando el gráfico
de los residuos estandarizados (Tabla IX.14) vemos que aún
debemos mejorar en la modelización de la varianza ya que todavía no obtenemos una
distribución normal estándar con media cero y varianza igual a la unidad.
IV.3.b) Aplicando modelos ARCH Asimétricos
Una de las principales características de los mercados financieros es que ante
malas noticias se producen caídas en las cotizaciones que tienen una volatilidad mayor, o
sea son de mayor magnitud, que cuando se producen subas en las cotizaciones por buenas
noticias, en cuyo caso las variaciones o volatilidad son de menor magnitud.
Para estos casos de volatilidad asimétrica se desarrollaron los modelos TARCH y
EGARCH. Los modelos TARCH
o Threshold ARCH plantean la siguiente ecuación para la varianza condicional:
Donde dt = 1 si e t es negativo y dt = 0 si e t
es positivo o cero. Aquí valores
negativos del residuo de la regresión son interpretadas como malas noticias para el
mercado y los valores positivos representan buenas nuevas. Así pues las malas noticias
tendrán un impacto (a + ) sobre la varianza condicional, en cambio las buenas noticias solo impactarán
en a. Cuando toma un
valor estadísticamente representativo distinto de cero recibe el nombre de Efecto
Leverage.
Efectuamos la estimación del modelo TARCH(1,1) en la Tabla IX.15 observando que
todos los coeficientes resultaron significativos, incluido el término de asimetría. El
criterio de información Akaike de éste modelo (4.311399) es menor que el del modelo
GARCH(1,1) (4.328650) lo que nos esta indicando que éste modelo refleja la asimetría del
mercado y es una mejora en las especificación del modelo.
Analizando los residuos de la regresión obtenemos un nivel aún alto de
Kurtosis (4.90) y de Skewness (-0.10) respecto de una distribución normal (3 y 0
respectivamente). Asimismo el test de Jarque-Bera nos da 382.03 muy alejado del valor
crítico de 7.37 correspondiente a una distribución Chi cuadrado con dos grados de
libertad al 97,5% de confianza.
IV.3.c) Aplicando modelos EGARCH o GARCH Exponencial
Este modelo fue desarrollado en 1990 por Pagan y Schwert y en 1991 por Nelson, el
cual esta definido como:
En este caso, la influencia de los residuos sobre la varianza condicional es
de tipo exponencial, ya que podemos escribir:
Donde el efecto leverage (dado
por el valor de ) es
exponencial más que cuadrático y es linealizado mediante la aplicación de logaritmos,
garantizándose que la predicción de la varianza condicional sea no negativa.
En este modelo (ver Tabla IX.16) vuelve a captarse un comportamiento
asimétrico:
Si e t-1 es
positivo, las buenos noticias para el mercado tendrán un impacto (a + ) sobre el logaritmo de la varianza
condicional o sea 0.15051 (0.231307 – 0.080797), en cambio si e t-1
es negativo, las malas noticias en el mercado tendrán un impacto (a - ) o sea 0.312104 (0.231307 + 0.080797).
Al observar los residuos de la regresión vemos que el nivel de Kurtosis creció
levemente (5.02) y el de Asimetría bajó (-0.07), el test de Jarque-Bera se incrementó a
430,07 alejándose un poco más de una distribución normal, en ambos casos TARCH(1,1) Y
EGARCH(1,1) los valores de media (-0.009446 y -0.008879) y de varianza (1.00076 y 1.00069)
son muy cercanos a 0 y 1 respectivamente.
El criterio de
información de Akaike favorece al modelo TARCH(1,1) (4.311399 vs. 4.318812) y el criterio
Schwarz (4.325289 vs. 4.332702) también lo hacen preferible al modelo EGARCH(1,1) por
escaso margen, pero elegimos el modelo EGARCH(1,1) como el más adecuado ya que refleja
mucho mejor el comportamiento asimétrico del mercado.
Continuemos la búsqueda con el siguiente modelo de la familia ARCH.
IV.3.d) El modelo del Componente o The Component ARCH
model
Este modelo parte de la varianza condicional de un GARCH(1,1):
Siendo w una constante
para todos los valores de t. En cambio en el modelo del componente se permite que la media
de la ecuación de la varianza cambie en el tiempo y se denomina qt y el modelo
se transforma en:
Aquí la varianza condicional σ2t todavía es
volátil, pero lo particular es el reemplazo de w por qt y de este modo se
testea la presencia de una volatilidad de largo plazo cambiante en el tiempo.
En la primer ecuación se describe el componente transitorio (σ2t
- qt) que converge a cero con una velocidad dada por (a + ß). En la segunda
ecuación se describe el componente de largo plazo (qt) que converge a w a una
velocidad dada por Þ. Este modelo
equivale a un EGARCH(2,2) con restricciones no lineales en los coeficientes.
Como tanto el modelo TARCH(1,1) y el EGARCH(1,1) nos dan evidencia de la existencia
de un efecto asimetría significativo, realizamos la regresión del modelo del componente
asimétrico (Tabla IX.17) que responde a las ecuaciones:
Reemplazando los
coeficientes obtenidos :
Analizando los residuos de la regresión observamos una media mas alejada
del valor cero (-0.035051) y una varianza más alejada del valor uno (1.022165) que los
obtenidos con el modelo EGARCH(1,1).
Asimismo el modelo del
componente asimétrico posee mayores valores para el criterio de información Akaike
(4.321902) y de Schwarz (4.340422) que el modelo EGARCH(1,1). Por lo tanto mantenemos
dicho modelo como el más adecuado hasta el momento.
IV.3.e) El
modelo ARCH-M
Los modelos que vimos hasta el momento son variantes de especificación de la
ecuación de la varianza, éste tipo de modelo es una alternativa para la especificación
de la ecuación de la media. Fue desarrollado por Engle, Robert, Lilien y Robins
incorporando la varianza condicional en la ecuación de la media, siendo otra alternativa
incluir la desviación condicional.
Esta variante resulta de mucha aplicación en estudios financieros donde el retorno
esperado de un activo está vinculado con el riesgo esperado del mismo. El coeficiente 
estimado del
riesgo esperado, es una medida que indica el intercambio entre riesgo y retorno de ese
activo.
En la tabla IX.18 se encuentra la regresión del modelo EGARCH-M(1,1) incluyendo la
varianza en la ecuación de la media, y en la tabla IX.19 incluimos la desviación
condicional.
Observando ambas regresiones, los coeficientes que acompañan a la varianza y a la
desviación estándar resultan ser no significativos. Por lo tanto mantenemos el
modelo EGARCH(1,1) como el más adecuado.
En la tabla IX.20 se presenta el gráfico de la desviación estándar condicional
de la regresión del modelo EGARCH(1,1).
IV.4)
Conclusión del Capítulo IV
El resultado de los análisis y regresiones realizadas en el punto IV.3) nos llevan
a la conclusión de que el modelo más adecuado para el índice Merval es el modelo EGARCH(1,1)
Ecuación de la media:
yt = c + yt-1 + e t
yt = 0.062030 + 0.103537 yt-1 + e t
Ecuación
de la varianza:
log(σ2t)
= w + a abs(e t-1
/ σt-1 ) + (e t-1 / σt-1
) + ß log(σ2t-1)
log(σ2t)
= -0.108365 + 0.231307 abs(e t-1 / σt-1
) – 0.080797 (e t-1 / σt-1
) + 0.955909 log(σ2t-1)
que es una linealización
de :
σ2t
= (σ2t-1)ß exp [ w + a abs(e t-1 / σt-1
) + (e
t-1 / σt-1 ) ]
σ2t
= (σ2t-1)0.955909 exp [-0.108365 + 0.231307
abs(e t-1/σt-1)
– 0.080797 (e t-1/σt-1)]
La ecuación de la
media nos indica que la rentabilidad diaria de corto plazo tiene un promedio de 0.062%, lo
que equivale a un 1.24% mensual (suponiendo 20 ruedas) y a un 15.51% anual (suponiendo 250
ruedas).
La media incondicional o de largo plazo es de 0.0691942%.
La rentabilidad diaria
de corto plazo tiene una varianza condicional que oscila alrededor del 0.90% diario,
conformando su valor final mediante la adición del valor de la varianza condicional del
período anterior elevado a la 0.955909 más el exponencial del absoluto del cociente del
error del día anterior y la dispersión del día anterior multiplicado por 0.231307,
menos el exponencial del cociente del error del día anterior y la dispersión del día
anterior multiplicado por 0.080797.
σ2t
= (σ2t-1)0.955909 exp [-0.108365 + 0.231307
abs(e t-1/σt-1)
– 0.080797 (e t-1/σt-1)]
Este modelo capta el comportamiento asimétrico:
la varianza condicional es:
si e t-1 > 0 σ2t = (σ2t-1)0.955909
exp [-0.108365 + 0.150510 (e t-1/σt-1)]
si e t-1 < 0 σ2t = (σ2t-1)0.955909
exp [-0.108365 + 0.312104 (e t-1/σt-1)]
La varianza no condicional o de largo plazo
es de 8.56% diario, lo que equivale a una volatilidad diaria del 2.93%.
En cuanto a la estabilidad intrínseca, en una primera instancia se cumple ya que
el coeficiente GARCH es INFERIOR a la unidad (0.955909). Para confirmarlo efectuamos el
test de Wald proponiendo como hipótesis nula que el coeficiente ß sea igual a la unidad, dando por resultado un
estadístico F igual a 16.78823 con un p-level de 0.000043 rechazándose en consecuencia
la hipótesis nula con un 99,99% de confianza.
