CAPÍTULO V
ANÁLISIS Y EVOLUCIÓN DE LA VOLATILIDAD DE LOS
PRINCIPALES ÍNDICES BURSÁTILES
El objeto de este capítulo es lograr determinar el
modelo aplicable, dentro de la familia de modelos ARCH, para cada uno de los principales
índices de bolsa propuestos como representativos del mundo bursátil en la intención de
estimar la volatilidad individual para luego en un próximo capítulo efectuar sus
comparaciones con el índice representativo de la bolsa argentina.
Mantenemos en principio el lapso muestral de diez años,
con datos diarios, rentabilidad logarítmica y los pasos desarrollados al estimar el mejor
modelo para el índice MERVAL, con la salvedad de que se presentarán aquí solamente
cuadros resumen de las regresiones y criterios de selección aplicados, y el modelo final
elegido para cada índice.
Los pasos a aplicar a cada índice son los siguientes.
1.- Determinación del rango de datos.
2.- Gráfico de comportamiento del cierre y su
rentabilidad diaria.
3.- Análisis la serie “rentabilidad”
observando:
a) Histograma
y estadísticos principales.
b) Estacionariedad.
Desde el punto de vista gráfico y aplicando
el test Dickey-Fuller.
c) Autocorrelación. Mediante el test “h” de Durbin.
d) Determinación
de la ecuación de la media. Elección del AR(p) mediante la significatividad de sus
coeficientes con los estadísticos “t” y “F” y verificación de la
existencia o no de homocedasticidad mediante el análisis del correlograma de los
residuos.
e) Heterocedasticidad.
Verificación mediante el análisis gráfico de los residuos, histograma, contraste de
White y test ARCH LM.
4.- Aplicación de los modelos ARCH Y GARCH para la
determinación de la ecuación de la varianza.
Selección del modelo más adecuado mediante la
aplicación de: “h” de Durbin, correlograma muestral de los residuos y de los
residuos al cuadrado, estabilidad intrínseca, criterio de información de Akaike,
criterio de información de Schwarz y análisis de los estadísticos principales de los
residuos (kurtosis, Asimetría y Jarque-Bera) buscando una distribución que se acerque a
la normal.
a) estimación
modelo ARCH(p)
b) estimación
modelo GARCH(p,q)
c) estimación
modelo TARCH(p,q)
d) estimación
modelo EGARCH(p,q)
e) estimación
modelo del componente
f) estimación
modelo ARCH-M
5.- Elección definitiva del modelo más adecuado para
cada índice.
V.1)
El índice S&P 500 de Estados Unidos
La
bolsa de valores de Estados Unidos está formada por más de 10 mil compañías. Por esa
razón resulta casi imposible llevar un seguimiento de las acciones de cada compañía en
un momento específico para determinar las tendencias del mercado. Por ese motivo, se
utilizan los índices como representantes oficiales del mercado. Los índices más
importantes son tres: el Dow, el S&P500 y el NASDAQ.
El
S&P esta compuesto por 500 acciones de empresas y representa aproximadamente el 70 por
ciento del total de las acciones de la bolsa de valores. Las compañías que componen el
S&P 500 representan una variedad de sectores industriales: el 80 por ciento son
corporaciones industriales, el 8 por ciento son compañías de servicios, el 8 por ciento
son financieras y el 4 por ciento son compañías de transporte.
El
área de tecnología es el único sector que no está bien representado en el índice
S&P 500. Entonces, si bien éste índice representa el rendimiento del mercado en el
pasado, y refleja el comportamiento de las inversiones y sus resultados, hay que tener
presente que el S&P 500 refleja principalmente el comportamiento de las grandes
compañías consideradas líderes en su industria.
Procedemos
al análisis de índice S&P 500:
1.- Determinación del rango de datos.
La
muestra que analizaremos abarca desde el día 03/01/1995 hasta el día 28/02/2005,
incluyendo 2.556 datos diarios de cierre del índice.
2.- Gráfico de comportamiento del cierre y su
rentabilidad diaria.
Gráfico V.1: Evolución del índice
S&P500 de USA entre enero de 1995 y febrero del 2005, cierre y rentabilidad diaria en
porcentaje. FUENTE: propia sobre la base de datos obtenidos del sitio Stockssite.com
(Internet, Marzo 2005).
Observamos
un crecimiento continuo desde el mínimo del período de 459,11 puntos el día 03/01/1995,
alcanza su valor máximo de 1.527,46 puntos el día 24/03/2000, luego cae hasta los 776,76
puntos el día 27/03/2002 a partir de ahí muestra una tendencia de recuperación que
llega hasta el 28/02/05 con un valor de 1.203,60.
3.- Análisis la serie “rentabilidad”.
3.a)
Histograma y estadísticos principales: es una distribución leptocúrtica (kurtosis
6.13), asimétrica hacia izquierda (Skewness –0.12), alejada de una distribución
normal (Jarque-Bera 1048.36) y que tiene como valor máximo 5,57% diario y como valor
mínimo –7,11% diario.
3.b)
Estacionariedad: el gráfico V.1 nos indica a priori una serie estacionaria, lo cual es
confirmado por el test Dickey-Fuller en sus tres acepciones, donde se observa que al 1%, 5% y 10% de
confianza se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto hay evidencia estadística de que la
serie RENT es estacionaria.
3.c)
Autocorrelación: el test Dickey-Fuller nos indica además un grado de autocorrelación, y
la significatividad del intercepto.
3.d)
Ecuación de la Media: efectuamos una regresión de la variable rentabilidad, buscando la
ecuación de la media, tomando como variables explicativas a una constante, una constante
y AR(1), una constante y MA(1) y una constante y AR(1) MA(1) siendo el mejor modelo el que
contiene solamente a la constante (AIC 3,103532).
3.e)
Heterocedasticidad: al efectuar el test ARCH LM sobre los residuos de la regresión de la
media que contiene solamente el término constante, nos indica la existencia de
heterocedasticidad al tener significancia los coeficientes de los residuos al cuadrado
hasta el tercer rezago. El análisis gráfico de los residuos nos confirma la
heterocedasticidad, pero los residuos aun no tienen una distribución normal ya que si
bien la media es cercana a cero, su varianza es de 1.30 con una asimetría negativa de
–0.115 y una kurtosis de 6.13.
4.- Aplicación de los modelos ARCH Y GARCH para la
determinación de la ecuación de la varianza.
Selección del modelo más adecuado mediante la
aplicación de: “h” de Durbin, correlograma muestral de los residuos y de los
residuos al cuadrado, estabilidad intrínseca, criterio de información de Akaike,
criterio de información de Schwarz y análisis de los estadísticos principales de los
residuos (kurtosis, Asimetría y Jarque-Bera) buscando una distribución que se acerque a
la normal.
4.a)
Estimación con los modelos ARCH(p): obtenemos coeficientes significativos y el criterio
de información Akaike y Schwarz disminuyendo hasta el ARCH(9) (AIC 2,887072).
4.b)
Estimación modelo GARCH(p,q): el modelo ARCH(9) es superado por el modelo GARCH(1,1) (AIC
2,861343) el cual se mantiene frente a otras variantes con p y q superiores. Su test ARCH
LM indica que no quedarían rezagos por incorporar.
4.c)
Estimación modelo TARCH(p,q): entre los modelos que incorporan la asimetría del mercado
bursátil se testeó con el TARCH(1,1) pero el término ARCH resultó poco significativo.
4.d)
Estimación modelo EGARCH(p,q): se comporta mejor el modelo EGARCH(1,1)
con menor valor del criterio de información Akaike hasta el momento (2,818895) y posee
todos los coeficientes altamente significativos. Observando las estadísticas de los
residuos,
mantiene una media muy cercana a cero, mejora la varianza a 1.005 y si bien la asimetría
hacia izquierda crece (-0.30) la kurtosis baja a 4.07 acercándose al valor de la
distribución normal (3).
4.e)
Estimación modelo del componente: en cuanto al modelo del componente asimétrico, no
mejora la performance del modelo EGARCH(1,1) ya que posee mayores valores del criterio de
información Akaike.
4.f)
Estimación modelo ARCH-M: estimados modelos ARCH-M incluyendo la varianza y la
dispersión en la ecuación de la media, ninguno resulta con un coeficiente significativo,
por lo cual se descarta esta alternativa.
5.- Elección definitiva del modelo más adecuado para
cada índice.
El
modelo más adecuado para el S&P500 es el EGARCH(1,1) cuya regresión se
encuentra en la Tabla IX.21:
Ecuación
de la media:
yt = c + 
yt-1 +e t
yt = 0.039581 +e t
Ecuación
de la varianza:
log(σ2t) = w + a abs(e t-1 / σt-1 ) + (e t-1 / σt-1 ) + ß
log(σ2t-1)
log(σ2t) = -0.082356 +
0.105726 abs(e t-1 / σt-1 ) – 0.116431 (e t-1 / σt-1 ) + 0.975921 log(σ2t-1)
que
es una linealización de :
σ2t = (σ2t-1)ß exp [ w + a abs(e t-1 / σt-1 ) + (e t-1 / σt-1 ) ]
σ2t = (σ2t-1)0.975921
exp [-0.082356+0.105726 abs(e t-1/σt-1)–0.116431 (e t-1/σt-1)]
Observando el histograma y los estadísticos principales de los residuos en la
tabla IX.22 vemos que tienen una media muy cercana a cero (-0.0045) y una varianza muy
cercana a uno (1.0046) con una asimetría negativa (-0.30) una kurtosis superior al de una
normal (4.07).
En la tabla IX.23 graficamos la desviación estándar condicional que corresponde
al modelo EGARCH(1,1).
La
ecuación de la media nos indica que la rentabilidad diaria tanto de corto como de largo
plazo, tiene un promedio de 0.039% lo que equivale a un 0.78% mensual (suponiendo 20
ruedas) y a un 9.76% anual (suponiendo 250 ruedas).
Esa
rentabilidad diaria de corto plazo tiene una varianza condicional que oscila alrededor del
0.92% diario,
conformando su valor final mediante la adición del valor de la varianza condicional del
período anterior elevado a la 0.975921 más el exponencial del absoluto del cociente del
error del día anterior y la dispersión del día anterior multiplicado por 0.105726,
menos el exponencial del cociente del error del día anterior y la dispersión del día
anterior multiplicado por 0.116431.
Este modelo capta el comportamiento asimétrico:
si
e t-1 > 0 la
varianza condicional es σ2t
= (σ2t-1)0.975921
exp [-0.082356 - 0.010705 (e t-1/σt-1)]
si e t-1 < 0 la varianza
condicional es σ2t
= (σ2t-1)0.975921
exp [-0.082356 + 0.222157 (e t-1/σt-1)]
La varianza no
condicional o de largo plazo es de 3.27% diario, lo que
equivale a una volatilidad diaria del 1.81%.
En cuanto a la estabilidad intrínseca, en una primera instancia se cumple ya que
el coeficiente GARCH es INFERIOR a la unidad (0.975921). Para confirmarlo efectuamos el
test de Wald proponiendo como hipótesis nula que el coeficiente ß sea igual a la unidad, dando por
resultado un estadístico F igual a 33.59557 con un p-level de 0.00 rechazándose en
consecuencia la hipótesis nula con un 100% de confianza.
V.2) El índice DJI de Estados Unidos
En
1986, Charles Dow, uno de los fundadores del Wall Street Journal, creó un índice que
representara las acciones industriales que conformaban la muy pequeña pero creciente
parte del mercado en aquel tiempo. Según Dow, un mercado en la alza se puede mantener
sólo si las industrias manufactureras y de transporte, como los ferrocarriles, siguen el
camino correcto.
El
promedio industrial Dow Jones originalmente tenía 12 compañías y aunque era publicado
regularmente en el Journal, le llevó más de 25 años ser reconocido fuera de Wall
Street. General Electric es, actualmente, la única compañía del Dow Jones que formaba
parte de las 12 compañías originales.
El
cálculo del índice originalmente era muy sencillo, se sumaba el valor del precio de
cierre de las acciones de las 12 compañías y se dividía el total por 12. Actualmente,
el cálculo se hace sumando los precios 30 valores que luego se dividen por el último
divisor, en consecuencia el Dow no es realmente un promedio.
El Dow es volátil con respecto al precio, lo que
significa que las acciones de más valor tienen más influencia en el índice. Es por eso
que el Dow sube o baja cuando una de las acciones “pesadas” tiene un cambio
abrupto. Hay que tener en cuenta esto para evitarse un susto y llegar a las conclusiones
equivocadas en relación a la bolsa y a la economía de los Estados Unidos.
Procedemos
al análisis de índice DJI:
1.- Determinación del rango de datos.
La
muestra que analizaremos abarca desde el día 03/01/1995 hasta el día 28/02/2005,
incluyendo 2.554 datos diarios de cierre del índice.
2.- Gráfico de comportamiento del cierre y su
rentabilidad diaria.
Gráfico V.2: Evolución del índice
DJI de USA entre enero de 1995 y febrero del 2005, cierre y rentabilidad diaria en
porcentaje. FUENTE: propia sobre la base de datos obtenidos del sitio Stockssite.com
(Internet, Marzo 2005).
Observamos
un crecimiento continuo desde el mínimo del período de 3.832,10 puntos el día
03/01/1995, alcanza su valor máximo de 11.723,00 puntos el día 14/01/2000, luego cae
hasta los 7.286,27 puntos el día 09/10/2002 a partir de ahí muestra una tendencia de
recuperación que llega hasta el fin de la muestra con un valor de 10.766,23.
3.- Análisis la serie “rentabilidad”.
3.a)
Histograma y estadísticos principales: es una distribución leptocúrtica (kurtosis
7.04), asimétrica hacia izquierda (Skewness –0.25), alejada de una distribución
normal (Jarque-Bera 1763.99) y que tiene como valor máximo 6,16% diario y como valor
mínimo –7,45% diario.
3.b)
Estacionariedad: el gráfico V.2 nos indica a priori una serie estacionaria, lo cual es
confirmado por el test Dickey-Fuller en sus tres acepciones, donde se observa que al 1%, 5% y 10% de
confianza se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto hay evidencia estadística de que la
serie RENT es estacionaria.
3.c)
Autocorrelación: el test Dickey-Fuller nos indica además un grado de autocorrelación, y
la significatividad del intercepto al 98% y de la tendencia al 91%.
3.d)
Ecuación de la Media: efectuamos una regresión de la variable rentabilidad, buscando la
ecuación de la media, tomando como variables explicativas a una constante, una constante
y @TREND(1), una constante y AR(1), una constante y MA(1) y una constante y AR(1) MA(1)
siendo el mejor modelo el que contiene solamente a la constante (AIC 3,054702).
3.e)
Heterocedasticidad: al efectuar el test ARCH LM sobre los residuos de la regresión de la
media que contiene solamente el término constante, nos indica la existencia de
heterocedasticidad al tener significancia los coeficientes de los residuos al cuadrado
hasta el tercer rezago. El análisis gráfico de los residuos nos confirma la
heterocedasticidad, pero los residuos aun no tienen una distribución normal ya que si
bien la media es cercana a cero, su varianza es de 1.24 con una asimetría negativa de
–0.25 y una kurtosis de 7.04.
4.- Aplicación de los modelos ARCH Y GARCH para la
determinación de la ecuación de la varianza.
Selección del modelo más adecuado mediante la
aplicación de: “h” de Durbin, correlograma muestral de los residuos y de los
residuos al cuadrado, estabilidad intrínseca, criterio de información de Akaike,
criterio de información de Schwarz y análisis de los estadísticos principales de los
residuos (kurtosis, Asimetría y Jarque-Bera) buscando una distribución que se acerque a
la normal.
4.a)
Estimación con los modelos ARCH(p): obtenemos coeficientes significativos y el criterio
de información Akaike y Schwarz disminuyendo hasta el ARCH(9) (AIC 2,844303).
4.b)
Estimación modelo GARCH(p,q): el modelo ARCH(9) es superado por el modelo GARCH(1,1) (AIC
2,827991) el cual se mantiene frente a otras variantes con p y q superiores por la
insignificancia de sus coeficientes o mayores AIC. Su test ARCH LM indica que no
quedarían rezagos por incorporar, y el estadístico “h” de Durbin es de -0,184731 indicando que no existe
correlación serial en los residuos al caer dentro del intervalo -1.96 y +1.96 con el 95%
de confianza.
4.c)
Estimación modelo TARCH(p,q): entre los modelos que incorporan la asimetría del mercado
bursátil se testeó con el TARCH(1,1) pero el término ARCH resultó no significativo.
4.d)
Estimación modelo EGARCH(p,q): se comporta mejor el modelo EGARCH(1,1) con menor valor
del criterio de información Akaike hasta el momento (2,794102) y posee todos los
coeficientes altamente significativos. Observando las estadísticas de los residuos,
mantiene una media muy cercana a cero, mejora la varianza a 1.002 y si bien la asimetría
hacia izquierda crece (-0.31) la kurtosis baja a 4.06 acercándose al valor de la
distribución normal (3).
4.e)
Estimación modelo del componente: en cuanto al modelo del componente asimétrico, no
mejora la performance del modelo EGARCH(1,1) ya que posee mayores valores del criterio de
información Akaike (2.815345).
4.f)
Estimación modelo ARCH-M: estimados modelos ARCH-M incluyendo la varianza y la
dispersión en la ecuación de la media, ninguno resulta con un coeficiente significativo,
por lo cual se descarta esta alternativa.
5.- Elección definitiva del modelo más adecuado para
el índice.
El
modelo más adecuado para el DJI es el EGARCH(1,1) cuya regresión se encuentra en
la Tabla IX.24:
Ecuación
de la media:
yt = c + yt-1 +e t
yt = 0.038387 +e t
Ecuación
de la varianza:
log(σ2t) = w + a abs(e t-1 / σt-1 ) + (e t-1 / σt-1 ) + ß
log(σ2t-1)
log(σ2t) = -0.090084 +
0.115366 abs(e t-1 / σt-1 ) – 0.09856 (e t-1 / σt-1 ) + 0.979695 log(σ2t-1)
que
es una linealización de :
σ2t = (σ2t-1)ß exp [ w + a abs(e t-1 / σt-1 ) + (e t-1 / σt-1 ) ]
σ2t = (σ2t-1)0.979695
exp [-0.090084+0.115366 abs(e t-1/σt-1)–0.09856 (e t-1/σt-1)]
Observando
el histograma y los estadísticos principales de los residuos en la tabla IX.25 vemos que
tienen una media muy cercana a cero (-0.00077) y una varianza muy cercana a uno (1.002461)
con una asimetría negativa (-0.313794) una kurtosis superior al de una normal (4.061047).
En la tabla IX.26 graficamos la desviación estándar condicional que corresponde
al modelo EGARCH(1,1).
La ecuación de la media nos indica que la rentabilidad diaria tanto de corto como
de largo plazo, tiene un promedio de 0.038% lo que equivale a un 0.77% mensual (suponiendo
20 ruedas) y a un 9.60% anual (suponiendo 250 ruedas).
Esa rentabilidad diaria de corto plazo tiene una varianza condicional que oscila
alrededor del 0.91% diario,
conformando su valor final mediante la adición del valor de la varianza condicional del
período anterior elevado a la 0.979695 más el exponencial del absoluto del cociente del
error del día anterior y la dispersión del día anterior multiplicado por 0.115366,
menos el exponencial del cociente del error del día anterior y la dispersión del día
anterior multiplicado por 0.09856.
Este modelo capta el comportamiento asimétrico:
si
e t-1 > 0 la
varianza condicional es σ2t
= (σ2t-1)0.979695
exp [-0.090084 + 0.016806 (e t-1/σt-1)]
si
e t-1 < 0 la
varianza condicional es σ2t
= (σ2t-1)0.979695
exp [-0.090084 + 0.213926 (e t-1/σt-1)]
La varianza no
condicional o de largo plazo es de 1.18% diario, lo que
equivale a una volatilidad diaria del 1.08797%.
En cuanto a la estabilidad intrínseca, en una primera instancia se cumple ya que
el coeficiente GARCH es INFERIOR a la unidad (0.979695). Para confirmarlo efectuamos el
test de Wald proponiendo como hipótesis nula que el coeficiente ß sea igual a la unidad, dando por
resultado un estadístico F igual a 19.9994 con un p-level de 0.000008 rechazándose en
consecuencia la hipótesis nula con un 99,99% de confianza.
continúa...
