CAPÍTULO V
continuación...
ANÁLISIS Y EVOLUCIÓN DE LA VOLATILIDAD DE LOS
PRINCIPALES ÍNDICES BURSÁTILES
V.9) El índice CAC40 de Francia
El
CAC 40 es el principal índice del mercado francés, que consiste en la media aritmética
ponderada por capitalización. Incluye 40 valores cotizados en el principal segmento del
mercado de valores de París, elegidos por su capitalización y liquidez.
CIRCUITO:
1.- Determinación del rango de datos.
La
muestra que analizaremos abarca desde el día 03/01/1995 hasta el día 28/02/2005,
incluyendo 2567 datos diarios de cierre del índice.
2.- Gráfico de comportamiento del cierre y su
rentabilidad diaria.
Gráfico V.9: Evolución del índice
CAC40 de FRANCIA entre enero de 1995 y febrero del 2005, cierre y rentabilidad diaria en
porcentaje. FUENTE: propia sobre la base de datos obtenidos del sitio Stockssite.com
(Internet, Marzo 2005).
Observamos
desde el comienzo de la muestra, en los 1.855,90 puntos, una tendencia alcista con una
gran corrección, alcanzando un máximo de 6922,33 puntos el día 04/09/2000 y luego un
mínimo de 2.493,42 puntos el día 11/03/2003. A partir de ese momento tiene una leve
recuperación y muestra una tendencia lateral hasta el final de la muestra.
3.- Análisis la serie “rentabilidad”.
3.a)
Histograma y estadísticos principales: es una distribución leptocúrtica (kurtosis
5.36), levemente asimétrica hacia izquierda (Skewness -0.09), no muy alejada de una
distribución normal (Jarque-Bera 599.89) y que tiene como valor máximo 7,00% diario y
como valor mínimo –7,68% diario.
3.b)
Estacionariedad: el gráfico V.9 nos indica a priori una serie estacionaria, lo cual es
confirmado por el test Dickey-Fuller en sus tres acepciones, donde se observa que al 1%, 5% y 10% de
confianza se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto hay evidencia estadística de que la
serie RENT es estacionaria.
3.c)
Autocorrelación: el test Dickey-Fuller nos indica que puede existir autocorrelación de
primer grado, y la poca significatividad del intercepto y de la tendencia.
3.d)
Ecuación de la Media: efectuamos una regresión de la variable rentabilidad, buscando la
ecuación de la media, tomando como variables explicativas a una constante, una constante
y @TREND(1), una constante y AR(1), una constante y MA(1) y una constante y AR(1) MA(1),
siendo el modelo más aceptable el AR(1) MA(1) sin término constante (AIC 3.576739).
3.e)
Heterocedasticidad: al efectuar el test ARCH LM sobre los residuos de la regresión de la
media que contiene el AR(1) MA(1) sin término constante, nos indica la existencia de
heterocedasticidad al tener significancia el coeficiente del residuo al cuadrado hasta el
noveno rezago. El análisis gráfico de los residuos nos confirma la heterocedasticidad, y
los residuos aun no tienen una distribución normal ya que la media es 0.03, pero su
varianza es de 2,09 con una leve asimetría negativa de -0.098 y una kurtosis de 5,37.
4.- Aplicación de los modelos ARCH Y GARCH para la
determinación de la ecuación de la varianza.
4.a)
Estimación con los modelos ARCH(p): al efectuar la regresión los coeficientes de los
términos AR(1) y MA(1) se tornan insignificantes, por lo tanto efectuamos la regresión
sin dichos términos y otra con una constante en la ecuación de la media, siendo ésta
última la que genera coeficientes significativos y el menor criterio de información
Akaike y Schwarz disminuyendo hasta el ARCH(9) (AIC 3.358751).
4.b)
Estimación modelo GARCH(p,q): el modelo ARCH(9) es superado por el modelo GARCH(1,1) (AIC
3.333565) el cual se mantiene frente a otras variantes con p y q superiores, ya sea por la
insignificancia de los nuevos coeficientes o su signo negativo. Su test ARCH LM indica que
no quedarían rezagos por incorporar.
4.c)
Estimación modelo TARCH(p,q): entre los modelos que incorporan la asimetría del mercado
bursátil se testeó con el TARCH(1,1) resultando en una mejora y con el coeficientes de
asimetría plenamente significativo, pero con baja significancia del coeficiente de la
constante de la ecuación de la media. El modelo mejora al suponer una media nula
obteniéndose un menor AIC (3.319574).
4.d)
Estimación modelo EGARCH(p,q): se analizó el modelo EGARCH(1,1) para la varianza, siendo
su coeficiente de asimetría plenamente significativo y con un AIC 3.318318, manteniendo
el supuesto de una media nula para la ecuación de la media.
4.e)
Estimación modelo del componente: en cuanto al modelo del componente y del componente
asimétrico, no mejoraron la estimación del anterior modelo.
4.f)
Estimación modelo ARCH-M: estimados modelos EGARCH-M incluyendo la varianza y la
dispersión en la ecuación de la media, ninguno resulta con un coeficiente significativo,
por lo cual se descarta esta alternativa.
5.- Elección definitiva del modelo más adecuado para
cada índice.
El
modelo más adecuado para el índice CAC40 es el EGARCH(1,1) cuya regresión se
encuentra en la Tabla IX.45:
Ecuación
de la media:
yt = c + 
yt-1 + e t
yt = 0 + e t
Ecuación
de la varianza:
log(σ2t) = w + a abs(e t-1 / σt-1 ) + (e t-1 / σt-1 ) + ß
log(σ2t-1)
log(σ2t) = -0.091884 +
0.126009 abs(e t-1 / σt-1 ) – 0.063313 (e t-1 / σt-1 ) + 0.986805 log(σ2t-1)
que
es una linealización de :
σ2t = (σ2t-1)ß exp [ w + a abs(e t-1 / σt-1 ) + (e t-1 / σt-1 ) ]
σ2t = (σ2t-1)0.986805
exp [-0.091884 + 0.126009 abs(e t-1/σt-1) – 0.063313 (e t-1/σt-1)]
Observando
el histograma y los estadísticos principales de los residuos en la tabla IX.46 vemos que
tienen una media cercana a cero (0.024) y una varianza muy cercana a uno (0.999) con una
leve asimetría negativa (-0.19) una kurtosis levemente superior al de una normal (3.42).
En la tabla IX.47 graficamos la desviación estándar condicional que corresponde
al modelo EGARCH(1,1).
La media de la variable dependiente obtenida de la regresión nos indica que la
rentabilidad diaria tanto de corto plazo como de largo plazo tiene un promedio de 0.03%,
lo que equivale a un 0.59% mensual (suponiendo 20 ruedas) y a un 7.39% anual (suponiendo
250 ruedas).
La rentabilidad diaria de corto
plazo tiene una varianza condicional que oscila alrededor del 0.91% diario,
conformando su valor final mediante la adición del valor de la varianza condicional del
período anterior elevado a la 0.986805 más el exponencial del absoluto del cociente del
error del día anterior y la dispersión del día anterior multiplicado por 0.126009,
menos el exponencial del cociente del error del día anterior y la dispersión del día
anterior multiplicado por 0.063313.
Este modelo capta el comportamiento asimétrico:
si
e t-1 > 0 la
varianza condicional es σ2t
= (σ2t-1)0.986805
exp [-0.091884 + 0.062696 (e t-1/σt-1)]
si
e t-1 < 0 la
varianza condicional es σ2t
= (σ2t-1)0.986805
exp [-0.091884 + 0.189322 (e t-1/σt-1)]
La varianza no
condicional o de largo plazo es de 0.09% diario, lo que
equivale a una volatilidad diaria del 3.075%.
En cuanto a la estabilidad intrínseca, en una primera instancia se cumple ya que
el coeficiente GARCH es INFERIOR a la unidad (0.986805). Para confirmarlo efectuamos el
test de Wald proponiendo como hipótesis nula que el coeficiente ß sea igual a la unidad, dando por
resultado un estadístico F igual a 13.36177 con un p-level de 0.000262 rechazándose en
consecuencia la hipótesis nula con un 99,97% de confianza.
V.10) El índice IBEX-35 de España
El
IBEX 35 es el índice oficial del mercado continuo de la Bolsa española y es calculado,
publicado y difundido en tiempo real por la Sociedad de Bolsas. Es un índice ponderado
por capitalización, compuesto por las 35 compañías más liquidas entre las que cotizan
en el mercado continuo de las cuatro Bolsas españolas. A pesar de la escasez de valores
que lo forman, el Ibex 35 representa un amplio porcentaje del volumen total contratado en
el mercado continuo, y de la capitalización del total de la Bolsa española, por lo que
es un buen indicador de la tendencia y evolución del mercado.
CIRCUITO:
1.- Determinación del rango de datos.
La
muestra que analizaremos abarca desde el día 02/01/1995 hasta el día 28/02/2005,
incluyendo 2544 datos diarios de cierre del índice.
2.- Gráfico de comportamiento del cierre y su
rentabilidad diaria.
Gráfico V.10: Evolución del índice
IBEX-35 de ESPAÑA entre enero de 1995 y febrero del 2005, cierre y rentabilidad diaria en
porcentaje. FUENTE: propia sobre la base de datos obtenidos del sitio Stockssite.com
(Internet, Marzo 2005).
Observamos
desde el comienzo de la muestra, en los 3.092,24 puntos, una tendencia alcista con una
gran corrección, alcanzando un máximo de 12.816,80 puntos el día 06/03/2000 y luego un
mínimo de 5.368,60 puntos el día 01/10/2002. A partir de ese momento tiene una recuperación y muestra una tendencia alcista
hasta el final de la muestra en los 9.391,00 el 28/02/2005.
3.- Análisis la serie “rentabilidad”.
3.a)
Histograma y estadísticos principales: es una distribución leptocúrtica (kurtosis
5.45), levemente asimétrica hacia izquierda (Skewness -0.20), no muy alejada de una
distribución normal (Jarque-Bera 654.12) y que tiene como valor máximo 6,32% diario y
como valor mínimo –7,34% diario.
3.b)
Estacionariedad: el gráfico V.10 nos indica a priori una serie estacionaria, lo cual es
confirmado por el test Dickey-Fuller en sus tres acepciones, donde se observa que al 1%, 5% y 10% de
confianza se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto hay evidencia estadística de que la
serie RENT es estacionaria.
3.c)
Autocorrelación: el test Dickey-Fuller nos indica que puede existir autocorrelación de
primer grado, y la poca significatividad de la tendencia, no así del intercepto.
3.d)
Ecuación de la Media: efectuamos una regresión de la variable rentabilidad, buscando la
ecuación de la media, tomando como variables explicativas a una constante, una constante
y @TREND(1), una constante y AR(1), una constante y MA(1) y una constante y AR(1) MA(1),
siendo el modelo más aceptable el que contiene el término constante y AR(1) con un AIC
3.530230.
3.e)
Heterocedasticidad: al efectuar el test ARCH LM sobre los residuos de la regresión de la
media que contiene el término constante y AR(1), nos indica la existencia de
heterocedasticidad al tener significancia el coeficiente del residuo al cuadrado hasta el
noveno rezago. El análisis gráfico de los residuos nos confirma la heterocedasticidad, y
los residuos aun no tienen una distribución normal ya que la media es cero, pero su
varianza es de 2,00 con una leve asimetría negativa de -0.173 y una kurtosis de 5,41.
4.- Aplicación de los modelos ARCH Y GARCH para la
determinación de la ecuación de la varianza.
4.a)
Estimación con los modelos ARCH(p): obtenemos coeficientes significativos y el criterio
de información Akaike y Schwarz disminuyendo hasta el ARCH(9) (AIC 3.263404).
4.b)
Estimación modelo GARCH(p,q): el modelo ARCH(9) es superado por el modelo GARCH(1,1) (AIC
3.254881) el cual se mantiene frente a otras variantes con p y q superiores, ya sea por la
insignificancia de los nuevos coeficientes o su signo negativo. Su test ARCH LM indica que
no quedarían rezagos por incorporar.
4.c)
Estimación modelo TARCH(p,q): entre los modelos que incorporan la asimetría del mercado
bursátil se testeó con el TARCH(1,1) resultando en una mejora y con el coeficientes de
asimetría plenamente significativo, obteniéndose un menor AIC (3.246088).
4.d)
Estimación modelo EGARCH(p,q): se analizó el modelo EGARCH(1,1) para la varianza, siendo
su coeficiente de asimetría plenamente significativo, pero con un AIC 3.248256 que es
superior al modelo TARCH(1,1), pero mejora la significancia de los coeficientes de la
ecuación de la media, tanto de la constante como del término AR(1) por lo tanto elegimos
como más adecuado el modelo EGARCH(1,1).
4.e)
Estimación modelo del componente: en cuanto al modelo del componente y del componente
asimétrico, no mejoraron la estimación del anterior modelo.
4.f)
Estimación modelo ARCH-M: estimados modelos EGARCH-M incluyendo la varianza y la
dispersión en la ecuación de la media, ninguno resulta con un coeficiente significativo,
por lo cual se descarta esta alternativa.
5.- Elección definitiva del modelo más adecuado para
cada índice.
El
modelo más adecuado para el índice IBEX-35 es el EGARCH(1,1) cuya regresión se
encuentra en la Tabla IX.48:
Ecuación
de la media:
yt = c + yt-1 + e t
yt = 0.055919 +
0.048621 yt-1 + e t
Ecuación
de la varianza:
log(σ2t) = w + a abs(e t-1 / σt-1 ) + (e t-1 / σt-1 ) + ß
log(σ2t-1)
log(σ2t) = -0.113902 +
0.155364 abs(e t-1 / σt-1 ) – 0.053523 (e t-1 / σt-1 ) + 0.979922 log(σ2t-1)
que
es una linealización de :
σ2t = (σ2t-1)ß exp [ w + a abs(e t-1 / σt-1 ) + (e t-1 / σt-1 ) ]
σ2t = (σ2t-1)0.979922
exp [-0.113902 + 0.155364 abs(e t-1/σt-1) – 0.053523 (e t-1/σt-1)]
Observando
el histograma y los estadísticos principales de los residuos en la tabla IX.49 vemos que
tienen una media cercana a cero (-0.004) y una varianza muy cercana a uno (0.997) con una
leve asimetría negativa (-0.29) una kurtosis levemente superior al de una normal (4.66).
En la tabla IX.50 graficamos la desviación estandar condicional que corresponde al
modelo EGARCH(1,1).
La ecuación de la media nos indica
que la rentabilidad diaria de corto plazo tiene un promedio de 0.056%, lo que equivale a
un 1.12% mensual (suponiendo 20 ruedas) y a un 13.98% anual (suponiendo 250 ruedas).
La media incondicional o de largo plazo es de 0.058777%.
La rentabilidad diaria de corto
plazo tiene una varianza condicional que oscila alrededor del 0.89% diario,
conformando su valor final mediante la adición del valor de la varianza condicional del
período anterior elevado a la 0.979922 más el exponencial del absoluto del cociente del
error del día anterior y la dispersión del día anterior multiplicado por 0.155364,
menos el exponencial del cociente del error del día anterior y la dispersión del día
anterior multiplicado por 0.053523.
Este modelo capta el comportamiento asimétrico:
si
e t-1 > 0 la
varianza condicional es σ2t
= (σ2t-1)0.979922
exp [-0.113902 + 0.101841 (e t-1/σt-1)]
si
e t-1 < 0 la
varianza condicional es σ2t
= (σ2t-1)0.979922
exp [-0.113902 + 0.208887 (e t-1/σt-1)]
La varianza no
condicional o de largo plazo es de 0.34% diario, lo que
equivale a una volatilidad diaria del 0.05863%.
En cuanto a la estabilidad intrínseca, en una primera instancia se cumple ya que
el coeficiente GARCH es INFERIOR a la unidad (0.979922). Para confirmarlo efectuamos el
test de Wald proponiendo como hipótesis nula que el coeficiente ß sea igual a la unidad, dando por
resultado un estadístico F igual a 16.14262 con un p-level de 0.000060 rechazándose en
consecuencia la hipótesis nula con un 99,99% de confianza.
V.7) Conclusión del Capítulo V
De los diez índices analizados, el modelo EGARCH(1,1) resulto ser el adecuado por
ocho de ellos, los tres de Estados Unidos S&P500, DJI y NASDAQ, el BOVESPA de Brasil,
el NIKKEI225 de Japón, el FTSE de Inglaterra, el CAC40 de Francia y el IBEX-35 de
España. Los otros dos índices de Latinoamérica, el IGPA
de Chile y el IGBC de Colombia, se adecuan mejor con el modelo GARCH(1,1).
Esto nos demuestra que la varianza del período anterior es determinante de la
varianza del período en curso. En cuanto a la ecuación de la media, predomina el modelo
con solo la constante que resulto el adecuado para cinco índices, S&P500, DJI,
NASDAQ, FTSE y CAC40. Para tres índices, BOVESPA, IGPA y IGBC, el modelo incluía la
constante y el primer término autorregresivo, o sea la rentabilidad del período
anterior. Solamente para el índice NIKKEI225 el modelo más acorde resulto ser el
ARMA(2,2).
